I voor. 15. detsember 1998. a.

Matemaatikaülesannete lahendused


1. ülesanne

Teisendame avaldist järgmiselt:

a = 7·125 + 50·49 + 35·72 = 7·5·52 + 2·5·5·7·7 + 35·72 = 35·(52 + 2·5·7 + 72) = 35·(5 + 7)2 = 5·7·122 = 5·7·(22·3)2 = 24·32·5·7.

Seega a = 24·32·5·7 = 24·32·51·71.

2. ülesanne

Olgu õpetaja joonestatud ruudu külje pikkus x dm. Siis Miina joonestatud ruudu külje pikkus on 10 cmehk 1 dm võrra väiksem suurusest 2x, seega on selle ruudu külje pikkus (2x-1) dm, Liina joonestatud ristküliku üks külg on (x+2) dm ja teine (x-2) dm, Tiina joonestatud ruudu külje pikkus aga (x-1/3) dm. Koostame võrrandi:

(2x-1)2 - (x+2)(x-2) = 3(x-1/3)2.

Lahendame selle võrrandi:

4x2 - 4x + 1 - (x2 - 4) = 3(x2 - 2/3x + 1/9)
4x2 - 4x - x2 -3x2 + 2x = 1/3 - 1 - 4
-2x = - 14/3
x = 2 1/3 dm.

Kontrollides leiame, et see vastus tõesti sobib antud ülesandega.

3. ülesanne

Vaatame, kes poistest võiks olla see, kes alati tõtt räägib.

Olgu selleks poisiks Robert. Siis käib Robert ise 8D klassis, Siim 8B klassis, Toomas 8A klassis ja Urmas 8C klassis. Järelikult rääkis Siim ühel korral to~tt ja Toomas samuti ühel korral, aga nii see ülesande tingimuste kohaselt olla ei saa.

Olgu tõerääkijaks Siim. Siis käib Robert 8D klassis, Siim ise 8B klassis, Toomas 8C klassis ja Urmas 8A klassis. Et Robert ütles, et Siim käib 8A klassis, ei saa tema olla alati valetaja.  Et Toomas ütles, et Urmas käib 8A klassis, ning et Urmas ütles, et Toomas käib 8C klassis, siis ei saa ka kumbki neist olla valetaja, mis on jälle ülesande tingimuste kohaselt võimatu.

Olgu tõerääkijaks Toomas. Siis käib Robert 8D klassis, Siim 8C klassis, Toomas ise 8B klassis ja Urmas 8A klassis. Siis aga ei rääkinud ei Robert ega Urmas kordagi tõtt, mis jällegi ei ole võimalik.

Olgu tõerääkijaks Urmas. Siis käib Robert 8B klassis, Siim 8D klassis, Toomas 8C klassis ja Urmas ise 8A klassis. Robert valetas kõigil kolmel korral, Siim valetas Roberti kohta ja Toomas valetas Siimu ja Roberti kohta. Järelikult sobib see ülesande lahendiks.

Vastus: Robert käib 8B klassis, Siim 8D klassis, Toomas 8C klassis ja Urmas 8A klassis.

4. ülesanne

Sümmeetria tõttu on kolmnurgad EBF, FCG, GDH ja HAE kongruentsed ja nende pindalad seetõttu võrdsed. Nende nelja kolmnurga pindalade summa on võrdne ruutude ABCD ja EFGH pindalade vahega. Leiame ruutude pindalad:

Et |CD| = 38 cm, siis ruudu ABCD pindala on SABCD = 382 = 1444 (cm2).

Ruudu EFGH pindala arvutamiseks kasutame rombi pindala valemit diagonaalide kaudu, me saame seda teha, kuna iga ruut on ühtlasi romb. Et iga ruut on ka ühtlasi ristkülik, siis on tema diagonaalid võrdse pikkusega ja

SEFGH = (40·40):2 = 800 (cm2).

Seega on kolmnurga EBF pindala

SEBF = (1444 - 800):4 = 161 (cm2).



Palume saata kõik küsimused aadressil
Viimati muudetud: