II voor. 15. jaanuar 1999. a.

Matemaatikaülesannete lahendused


1. ülesanne

  • Näitame, et iga lohe, kes sööb lihatoitu, sööb ka taimtoitu. Vaatleme üht suvalist lohet, kes sööb lihatoitu. Siis esimese tingimuse kohaselt saab see lohe lennata. Nüüd kolmanda väite kohaselt lohe, kes lendab, sööb vahel ka taimtoitu, seega meie lohe sööb vahel ka taimtoitu. See arutelu kehtib suvalise lihatoitu sööva lohe kohta, seega iga lohe, kes sööb lihatoitu, sööb ka taimtoitu.
  • Selle teoreemi pöördteoreem on: Iga lohe, kes sööb taimtoitu, sööb ka lihatoitu. Tõestame selle. Vaatleme üht suvalist taimtoitu söövat lohet. On selge, et kui lohe sööb taimtoitu, sööb ta midagi muud peale kivide (taimed ei ole kivid). Seega saab see lohe tuld pursata. Aga kõik lohed, kes saavad tuld pursata, söövad vahel liha, seega sööb iga lohe, kes sööb taimtoitu, ka liha.
  • Lohe sööb lihatoitu parajasti siis, kui ta sööb taimtoitu. (Või: Lohe sööb lihatoitu siis ja ainult siis, kui ta sööb taimtoitu.)
  • 2. ülesanne

    1) Et kujundite A, B, C ja D pindalad on võrdsed, siis iga kujundi pindala on (168*168):4 = 7056 cm2. Et ristküliku A üks külg on 168 cm, siis tema teine külg on 7056:168 = 42 cm. Ristkülikutel C ja D on üks ühine külg ja võrdsed pindalad, seega nende teised küljed on ka võrdsed. Niisiis on kujundi D lühema külje pikkus (168-42):2 = 63 cm ja teise külje pikkus 7056:63 = 112 cm ning kujundi D ümbermõõt on 2*(63+112) = 350 cm.

    2) Kui ristkülikute A, B, C ja D ümbermõõdud on võrdsed, siis on võrdsed ka nende pooled ümbermõõdud et kahe lähikülje summad. Vaatlemegi edaspidi nende ristkülikute lähiskülgede summasid. Tähistame ristküliku A lühema külje tähega x. Siis ristküliku A pool ümbermõõtu pA= 168+x (cm). Ristküliku B pool ümbermõõtu on samuti (168+x) cm, et aga tema ühe külje pikkus on (168-x) cm, siis teise külje pikkus on (168+x) - (168-x) = 2x (cm). Vaatleme nüüd ristkülikut C. Selle ristküliku üks külg on (168-2x) cm, teine külg seega (168+x) - (168-2x) = 3x (cm). Ristkülikutel C ja D on üks ühine külg ja võrdsed ümbermõõdud, seega nende teised küljed on ka võrdsed. Siit saame võrrandi: x + 3x + 3x = 168, millest x=24. Järelikult on ristküliku D üks külg  3*24=72 cm ja teine 168-2*24=120 cm, seega kujundi D pindala on 72*120 = 8640 cm2.

    3. ülesanne

    1) Oletame, et võrdus 186 a + 174 b = 3 kehtib. Võrduse vasaku poole üks liidetavatest on 186 a, mis on kindlasti paarisarv, kui a on täisarv; teine liidetavatest on aga 174 b, mis on samuti iga b täisarvulise väärtuse korral paarisarv. Kahe paarisarvu summa on paarisarv, seega on 186 a + 174 b paarisarv. Kuid 186 a + 174 b = 3, mis on paaritu arv, seega ei saa see võrdus ühegi a ega b väärtuse korral kehtida.

    2) Kui kehtib võrdus  186 a + 174 b = 6, siis kehtib ka võrdus 31 a + 29 b = 1, mis on saadud esimesest võrdusest mõlemaid pooli kuuega läbi jagades; ja ka vastupidi, seega leiame teise võrduse jaoks a-le ja b-le sobivad väärtused. Sobivad näiteks a = -14, b = 15, sest 31*(-14) + 29*15 = -434 + 435 = 1.

    4 ülesanne

    Tähistame otsitava nurga tähega a ning märgime võrdsed nurgad joonisel ühe kaarega.

    Et kolmnurk ABC on täisnurkne, siis ŠBAC = 90o - Š ABC = 90o- a. Et kolmnurk AHD on samuti täisnurkne (DH oli kolmnurga ACD kõrgus), siis Š ADH = 90o- ŠDAH = 90o- Š BAC = 90o- (90o - a) = a.  Seega ka ŠBDC = a. Vaatleme kolmnurka BCD. Teame, et ŠBCD = 45o. Et ŠCBD = ŠCDB = a, siis a = (180o- 45o):2 = 67,5o.



    Palume saata kõik küsimused aadressil
    Viimati muudetud: