III voor. 15. veebruar 1999. a.

Matemaatikaülesannete lahendused


1. ülesanne

Paneme jälgimise lihtsustamiseks lastele ka nimed. Elagu selles majas näiteks poiss nimega Ahto. Ta pidi saatma ühe kaardi poisile, näiteks Fredile, ja teise tüdrukule, näiteks Birgitile (vt joonis 1). Birgit pidi saatma kaardi samuti ühele tüdrukule, näiteks Gerlile. Seega on majas vähemalt kaks poissi ja kaks tüdrukut. Vaatame nüüd Ahtot ja Gerlit. Üks neist pidi kindlasti teisele kaardi saatma, et aga Ahto saatis kaardi ainult ühele tüdrukule ja see oli Birgit, siis pidi Gerli saatma kaardi Ahtole (vt joonis 2). Vaatame nüüd Gerlit ja Fredi. Jällegi, üks neist pidi teisele kaardi saatma, aga Gerli saatis juba ühele poisile (Ahtole) kaardi, seega pidi Fred saatma kaardi Gerlile. Järgmiseks vaatame Birgitit ja Fredi ning leiame, et Birgit pidi saatma Fredile kaardi (vt joonis 3). Kui majas oleks veel mõni poiss, siis oleks ta pidanud saatma kaardi nii Birgitile kui ka Gerlile (sest nii Birgit ja Gerli on oma kaardi juba ühele poisile saatnud), aga nii see olla ei saa, järelikult ei ole majas rohkem poisse. Samamoodi arutledes leiame ka, et majas ei saa olla rohkem tüdrukuid. Järelikult ei jää Fredil muud üle, kui üks kaart Ahtole saata, ning Gerli peab saatma kaardi Birgitile. Niisiis on majas kaks poissi ja kaks tüdrukut ja nad saatsid kaarte nii, nagu näha jooniselt 4.

2. ülesanne

Teeme ülesande kohta joonise, kus ühikuks olgu 10 m ja tähistame mäetipu tähega M. Kui tõmbame laste ümber kummipaela, näeme, et Koit ei pinguta paela üldse.  Niisiis otsime viisnurga AHEIJ pindalat. Viisnurk AHEIJ koosneb kolmnurgast AHJ, mille alus on HJ = 30+20 = 50 m ning kõrgus AM = 50 m, ning trapetsist HEIJ, mille üks alus on HE = 30 m , teine alus JI = 20 m ning mille kõrgus HJ = 50 m. Seega viisnurga AHEIJ pindala saama arvutada valemist S = AM·HJ : 2 + (HE+JI)·HJ : 2 = 50·50 : 2 + 50·50 : 2 = 50·50 = 2500 m2.

 3. ülesanne

Oletame, et kassil on ühel käpal x karva. Siis ülesande teksti viimasest lausest saame, et käppadel kokku on tal 4x karva, sabal 2x, peas 3x ja kehal 8x karva. Vaatame nüüd, kui suur osa karvadest on igal kassil kollased.
Miisul on kollaseid karvu kokku 3x·1/3 + 4x·1/6 + 8x·2/5 + 2x·1/9 = 5 4/45 x,
Murril on kollaseid karvu kokku 2x·1 + x·7/8 + 3x·4/5 = 5 11/40 x,
Kirril on kollaseid karvu kokku 3x·2/3 + 4x·3/7 + 8x·1/8 + 2x·1/4 = 5 3/14 x,
Ruudil on kollaseid karvu kokku 3x·1/2 + x + 8x·1/6 + 2x·7/8 = 5 7/12 x.
Miisul, Murril ja Kirril on ilmsesti kollaseid karvu vähem kui 5 1/2 x, samas kui Ruudil on neid rohkem kui 5 1/2 x. Seega peaks linna kollaseima kassi tiitli saama Ruudi.

4. ülesanne

Eesti Iseseisvuspäev on 24. veebruar, mis on aasta 31+24 = 55. päev. Uurime, mitu tegurit on arvul 55. Et 55 = 5·11, siis saame arvule 55 kokku neli erinevat tegurit: 1, 5, 11 ja 55. Meie otsitav arv ei tohi jaguda ühegi teise algarvuga peale 2, seega peab ta olema arvu 2 mingi aste. Proovides on kerge leida, et arvul 8 = 2·2·2 on kokku neli erinevat tegurit, nimelt 1, 2, 4 ja 8.


Palume saata kõik küsimused aadressil ttkool@ut.ee
Viimati muudetud: 14.02.1999. a.