IV voor. 15. märts 1999. a.

Matemaatikaülesannete lahendused


1. ülesanne

Murde sobivalt laiendades leiame järgmise seaduspärasuse:

1/21, 2/20, 3/21, 4/20, 5/20, 6/21, 7/21, 8/20, 9/21, 10/20, 11/21, 12/20, 13/20, 14/21, 15/21, 16/20, 17/20, 18/21, 19/21, 20/20.

Näeme, et lugejateks on naturaalarvud kasvavas järjekorras ja nimetajaks on kas 20 või 21. Ühtlasi paneme tähele, et arvude 2n-1 ja 2n nimetajad on alati erinevad ja nimetaja on üldjuhul valitud nii, et saaks võimalikult suure arvuga taandada. Seega on neli järgmist liiget 21/21, 22/20, 23/21, 24/20 (21/20 ei saaks taandada, 22/21 ka mitte; 24/20 saame taandada 4-ga, aga 24/21 ainult 3-ga, samas ei saa taandada ei murdu 23/20 ega 23/21,  seega kirjutame 24/20 ja 23 jaoks jääb nimetaja 21) ehk 1, 11/10, 23/21, 6/5.

2. ülesanne

Olgu kujundi A (ruut) küljepikkus a. Siis kolm esimest kujundit näevad välja järgmiselt:

Neljas kujund on viisnurk, mille nurkadest kolm on täisnurgad. Leiame, millise suurusega on ülejäänud kaks nurka. Viisnurga sisenurkade summa on (5-2)·180o = 540o. Järelikult on kahe ülejäänud nurga summa 540o - 3·90o = 270o. Et ülejäänud nurgad võivad olla vaid kas 45o või 135o, siis on ainus võimalus, et kumbki kahest ülejäänud nurgast on 135o. Joonestame nüüd kahe mittetäisnurga vahel asuva täisnurga ja selle lähisküljed ning seejärel kaks 135o-st nurka. Ilmneb, et kaks külge peavad olema mõlemad sama pikad kui kolmnurga B kaatet, saame kujundi D.

Viies kujund on samuti viisnurk. Et 540o - 90o - 90o - 270o = 90o, siis peavad kaks kirjeldamata nurka olema suurusega 45o. Ühtlasi on selge, et suurusega 45o ja suurusega 90o nurgad peavad paiknema vaheldumisi. Joonestame nüüd 270o-se suurusega nurga, selle lähisküljed ning nende lähiskülgede teised lähisnurgad. Et saaks viiest kujundist moodustada ruutu, peab kujund tulema selline nagu joonisel näha.

Viiest kujundist A, B, C, D ja E saab ruutu moodustada järgmisel viisil:

 3. ülesanne

Malelaual on 64 ruutu, neist 32 on mustad ja 32 valged. Kui ratsu on mustal ruudul, siis ründab ta ainult valgeid värvi ruute. Seega, kui paneme 30 ratsut 30-le mustale ruudule, ei saa ükski ratsu teist lüüa.

4. ülesanne

Olgu need kaks positiivset arvu, mille vahe on 2, x-1 ja x+1. Nende korrutis on (x-1)(x+1) = x2-1. Saame võrrandi x2-1 = 1,25 , ehk x2 = 2,25 = 9/4. Seega peab x olema selline positiivne arv, mille ruut on 9/4. Selline arv on 3/2 = 1,5 ning otsitavad arvud on 0,5 ja 2,5.


Palume saata kõik küsimused aadressil ttkool@ut.ee
Viimati muudetud: 15.04.1999. a.