V, 15. aprill 1999. a.

Matemaatikaülesannete lahendused

Muumitroll ja Sniff jagavad šokolaadi


1. ülesanne

Kui katame ruudu küljepikkusega 10 cm nelja poolringiga, mille diameeter on 10 cm, siis on kahekordselt kaetud parajasti need ruudu osad, mis on tumedast šokolaadist. Seega STUME = 4·(pr2 / 2) - a2 = 2·p·25 - 100 = 50(p - 2) cm2 ja Sniff sai 50(p - 2)·13 » 742 g šokolaadi. Et SHELE = S - STUME = 100 - 50(p - 2) = 50(4 - p) cm2, siis sai Muumitroll 50(4 - p)·13 » 558 g šokolaadi.

2. ülesanne

Oletame, et Sniff sai Muumimamma käest x grammi šokolaadi. Et eelmises ülesandes sai Sniff 742 - 558 = 184 g šokolaadi rohkem, siis pidi Muumitroll saama mamma käest x + 184 g šokolaadi. Samas pidi Muumitroll ülesande teksti põhjal saama 7x + 16 g šokolaadi. Niisiis saame võrrandi 7x + 16 = x + 184, millest 6x = 168 ja x = 28. Järelikult sai Sniff Muumimamma käest 28 g šokolaadi ja Muumitroll 28+184 = 212 g šokolaadi.

 3. ülesanne

Tegurdame eelmises ülesandes saadud arvud: 28 = 2·2·7 ja 12 = 2·2·53. Järelikult, kuna kumbki sai täisarv kuule, võis üks kuul kaaluda kas 1 g, 2 g või 4 g. Kuulide koguarvu ja ühe kuuli kaalu summad tulevad vastavalt 1 + 28 + 212 = 241, 2 + 14 + 106 = 122 ja 4 + 7 + 53 = 64. Seega sai Sniff 7 ja Muumitroll 53 šokolaadikuuli.

4. ülesanne

Näitame kõigepealt, et Sniff võib saada endale vähemalt pool šokolaaditahvlit. Jagame tahvli mõtteliselt 24ks lõikumatuks 2x2 tükiks.

Ühelgi oma käigul ei saa Muumitroll nendest tükkidest lõhkuda rohkem kui ühe. Seega, kui Sniff igal oma käigul murrab endale ühe neist tükkidest, tehakse kokku vähemalt 24 käiku ja Sniff saab endale vähemalt 24:2 = 12 tükki, mis on pool šokolaadi.

Näitame nüüd, et Muumitroll saab endale šokolaadi murda nii, et Sniff ei saa rohkem kui pool šokolaaditahvlit. Märgime ära osa tahvli ruutudest, nimelt:

Igal oma käigul peab Sniff võtma ühe märgitud ruudu ja ühelgi käigul ei saa ta võtta mitut. Kui nüüd Muumitroll lõikab igal enda käigul ühe neist märgitud ruutudest, on 24 käigu järel (neist 12 Sniffi ja 12 Muumitrolli käiku) kõik märgitud ruudud ära võetud. Ülejäänud šokolaadiruutude hulgast aga pole Sniffil mingil juhul võimalik endale tükki murda - järelikult Muumitrolli sellise taktika korral ei saa Sniff endale rohkem kui 12 tükki, mis on pool šokolaadi.

Et Sniffi kõige parema strateegia korral saab ta vähemalt pool tahvlit šokolaadi ning Muumitrolli hea strateegia korral ei saa ta rohkem kui pool tahvlit, siis juhul, kui mõlemad püüavad endale võimalikult palju šokolaadi saada, saab kumbki täpselt poole tahvli jagu šokolaadisodi.


Palume saata kõik küsimused aadressil ttkool@ut.ee
Viimati muudetud: 17.05.1999. a.