Järgmiste ülesannete vastused Eelmiste ülesannete vastused

CCLXXXI



Ülesanne 1.

Vastus: Otsitav viiekohaline arv on 84269.
Lahendus: Paneme tähele, et arvu ABCDE iga number on vähemalt korra mõne liidetava esimeseks numbriks ja seega neist ükski ei ole null. Liidetavate ühelisi vaadates näeme, et 7·B üheliste number on A. Seega A ja B on mõlemad kas paaritud või paaris. Et kõikide arvude summa on kindlasti suurem igast liidetavast, siis kindlasti A > B. Kuna sajatuhandeliste liitmisest ei toimu "ülekandmist" miljonilistele, siis, B peab olema väiksem kui 5 ja A peab olema vähemalt 2B. Kuna "ülekanne" sajatuhandelistele ei saa olla suurem kui 3, siis A ei saa olla suurem kui 2B+3.
Oleme saanud, et 2BA2B+3 ja B<5 ja A ja B on sama paarsusega. Seega on võimalused (1,3), (1,5), (2,4), (2,6), (3,7), (3,9) ja (4,8). Üheliste veerust näeme, et 7B üheliste number peab olema 4 ning järelikult jääb kaks võimalust (2,4) ja (4,8). Kui B=2, siis ühelistelt kümnelistele on "ülekanne" 1. Seega 6D+1 peab lõppema numbriga A=4, mis ei ole võimalik. Seega jääb võimalus, et B=4 ja A= 8. Siis same, et D=6. Edasi saame, et kuna 5E+3 üheliste number peab olema 8. Järelikult E peab olema paaritu. Vaadates tuhandelisi näeme, et 4D+x=24+x üheliste number peab olema 8. Seega x=4. Seega sajalistest peab "ülekandma" 4 ja järelikult E saab olla vaid 9. Lõpuks saame, et C=2. Otsitav viiekohaline arv on 84269.


Ülesanne 2.

Vastus: On üks selline arvude viisik, so 5, 6, 7, 8 ja 9.
Lahendus: Olgu need viis arvud kasvavas järjekorras a, b, c, d ja e. Kui arv b ei oleks suurem kui 5, siis arv a ei oleks suurem kui 4. Sel juhul aga kahe väiksema arvu korrutis ei oleks suurem kui 20. Järelikult arv b ei saa olla väiksem kui 6. Kui arv d ei ole väiksem kui 9, siis e ei ole väiksem kui 10 ja järelikult kahe suurima arvu korrutis ei saa olla väiksem kui 90. Järelikult arv d ei ole suurem kui 8. Seega on vaid üks võimalus, et b=6, c=7 ja d=8. Et 25 : 6 < a < 6, siis arv a peab olema 5 ja et 8 < e <75 : 8, siis arv e peab olema 9. Seega on vaid üks selline arvude viisik, so 5, 6, 7, 8 ja 9.

Ülesanne 3.

Vastus: Tumedaks värvitud kolmnurkade ümbermõõtude summa on 25cm.
Lahendus: Kolme tumedamalt värvitud kolmnurga ümbermõõtude summa on võrdne ristkülikukujulise paberilehe ümbermõõduga, st 2·(5 cm + 7,5 cm)=25 cm.

Ülesanne 4.

Vastus: Märdi poolt söödud kommide suurim võimalik arv on 60.
Lahendus: Olgu Märdi, Kärdi ja Pärdi söödud kommide arvud vastavalt m, k ja p. Ülesande teksti põhjal saame, et m=3·k ja m=4·p. Seega arv m jagub nii arvuga 3 kui ka arvuga 4. Seega arv m jagub arvuga 12 ehk arv m avaldub kujul 12a, kus a on mingi naturaalarv. Seega 12a=3k ja 12a=4p ehk k=4a ja p=3a. Seega nende kommide arvude summa on 12a+4a+3a=19a. Et kokku oli neil vähem kui 100 kommi, siis kõige rohkem võis neil kokku olla 95 kommi, see on siis kui a=5. Sel juhul m=60, ehk Märt sõi 60 kommi.



Ülesanded