Järgmiste ülesannete vastused Eelmiste ülesannete vastused

CCLXXXVI



Ülesanne 1.

Vastus: saab paigutada 11 nurgikut.
Lahendus:Ruudust mõõtmetega 2x2 peavad ühe nurgikuga kaetud olema vähemalt kaks ühikruutu, sest muidu on sinna võimalik paigutada veel üks nurgik. Ruudu mõõtmetega 8x8 saab jaotada 16-ks ruuduks mõõtmetega 2x2. Seega nurgikutega peab olema kaetud vähemalt 32 ühikruutu. Selleks on vaja vähemalt 11 nurgikut. Joonisel on näidatud, et tõesti 11 nurgikut on võimalik nii paigutada.

Ülesanne 2.

Vastus: Ruute oli 10.
Lahendus: Ruudus mõõtmetega 8x8 on 64 ühikruutu. Nii ruut 2x2 kui ristkülik 1x4 koosneb neljast ühikruudust. Seega kokku oli ruute ja ristkülikuid 16. Leiame kõigi tellinud kujundite ümbermõõtude summa. Üheks osaks sellest ümbermõõtude summast on ruudu 8x8 ümbermõõt. Et iga lõige oli osaks kahe tekkinud kujundi ümbermõõdust. Seega kõigi tekkinud kujundite ümbermõõtude summa oli 32+2·54=140. Ruudu 2x2 ümbermõõt on 8 ja ristküliku 1x4 ümbermõõt on 10. Kui kõik kujundid oleks olnud ruudud, siis nende ümbermõõtude summa oleks olnud 16·8=128. Seega see oleks 12 võrra väiksem kui tegelikult. Järelikult 6 ruudu asemel oli ristkülik. Seega ruute oli nende kujundite seas 10.

Ülesanne 3.

Vastus: Suurim arv ühikruute, mida ühe sirgega saab kaheks osaks lõigata on 15.
Lahendus: Sirge saab kaheks osaks lõigata 15 ühikruutu (vt. joonist). Näitame et see arv ei saa olla suurem kui 15.Ruutude arv, mida sirge pooleks lõikab on ühe võrra väiksem sirge ja ruudustiku joonte lõikepunktide arvust. Iga joon saab omada ruudutiku piirjoonega mitterohkem kui 2 lõikepunkti. Ruudustiku sees on 7 vertikaalset ja 7 horisontaalset lõiku. Et kahel sirgel saab olla vaid üks lõikepunkt, siis ruudustiku sees saab olla sel sirgel 14 lõikepunkti ruudustiku joontega. Seega suurim arv lõikepunkte saab olla 16 ja järelikult kaheks osaks jaotuvaid ühikruute ei saa olla rohkem kui 15.

Ülesanne 4.

Vastus: Värvide suurim arv on 16.
Lahendus: Kui me jaotame ruudustiku 8x8 ruutudeks mõõtmetega 2x2, siis tekib neid 16 tükki. Kui iga sellise ruudu värvime erinevat värvi, siis tingimused on täidetud. Kui mingit värve ruute ei oleks rohkem kui kolm, siis neist vaid ühel saab olla kaks ühist külge sama värvi ruuduga. Seega igat värvi ruute peab olema vähemalt 4 ja värve ei saa olla rohkem kui 16.



Ülesanded